2021东南地区数学竞赛（东南数学竞赛含金量）

中国东南地区数学奥林匹克分值

分值是一题7分。第63届中国东南地区数学奥林匹克竞赛于2022年7月15日正式开赛，共有6个大题，每道题的分值是7分，满分为42分；金牌分数线为34分，银牌分数线为29分，铜牌分数线是23分。

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首届中国东南地区数学奥林匹克

第一天

（2004年7月10日 8：00 — 12：00 温州）

一、 设实数a、b、c满足 ，求证：

二、 设D是 的边BC上的一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与线段AB、PB交于点M、E，与线段AC、PC的延长线交于点F、N。如果DE=DF，

求证：DM=DN

三、（1）是否存在正整数的无穷数列 ，使得对任意的正整数n都有 。

（2）是否存在正无理数的无穷数列 ，使得对任意的正整数n都有 。

四、给定大于2004的正整数n，将1、2、3、…、 分别填入n×n棋盘（由n行n列方格构成）的方格中，使每个方格恰有一个数。如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格内所填的数，且大于它所在列至少2004个方格内所填的数，则称这个方格为“优格”。求棋盘中“优格”个数的最大值。

第二天

（2004年7月11日 8：00 — 12：00 温州）

五、已知不等式 对于 恒成立，求a的取值范围。

六、设点D为等腰 的底边BC上一点，F为过A、D、C三点的圆在 内的弧上一点，过B、D、F三点的圆与边AB交于点E。求证：

七、n支球队要举行主客场双循环比赛（每两支球队比赛两场，各有一场主场比赛），每支球队在一周（从周日到周六的七天）内可以进行多场客场比赛。但如果某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛。如果4周内能够完成全部比赛，球n的最大值。

注：A、B两队在A方场地举行的比赛，称为A的主场比赛，B的客场比赛。

八、求满足 ，且 的所有四元有序整数组（ ）的个数。

首届中国东南地区数学奥林匹克（答案）

一、解：由柯西不等式，

所以， ，所以

二、证明：

对 和直线BEP用梅涅劳斯定理得： ，

对 和直线NCP用梅涅劳斯定理得： ，

对 和直线BDC用梅涅劳斯定理得：

（1）（2）（3）式相乘得： ，又DE=DF，

所以有 ，

所以DM=DN。

三、 解：

（1）假设存在正整数数列 满足条件。

又 所以有 对n=2，3，4，…成立。

所以 。

设 ，取 ，则有 ，这与 是正整数矛盾。

所以不存在正整数数列 满足条件。

（2） 就是满足条件的一个无理数数列。此时有 。

四、解：为叙述方便，如果一个方格中填的数大于它所在行至少2004个方格中所填的数，则称此格为行优的。由于每一行中填较小的2004个数的格子不是行优的，所以每一行中有n－2004个行优的。一个方格为“优格”一定是行优的，所以棋盘中“优格”个数不大于 。

另一方面，将棋盘的第i 行，第 （大于n时取模n的余数）列中的格子填入“*”。将1、2、3、…、2004n填入有“*”的格子，其余的数填入没有“*”的格子。没有“*”的格子中填的数大于有“*”的格子中任何一个数，所以棋盘上没有“*”的格子都为“优格”，共有 个。

此时每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）。实际上，当 时，第i列的第1、2、…、i、n+i－2003、n+i－2002、...、n行中有“*”。当 时，第i列的第i－2003、i－2002、...、i行中有“*”。所以每行有2004个格子有“*”，每列也有2004个格子有“*”（如图）

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

* * *

所以棋盘中“优格”个数的最大值是 。

五、解：设 ，则

从而原不等式可化为：

即 ，

原不等式等价于不等式（1）

（1）不等式恒成立等价于 恒成立。

从而只要 。

又容易知道 在 上递减， 。

所以 。

六、证明：设AF的延长线交 于K， ，因此 。于是要证（1），

只需证明：

又注意到 。

我们有

进一步有

因此要证（2），只需证明 （3）

而（3）

事实上由 知（4）成立，得证。

球

队 第

一

周 第

二

周 第

三

周 第

四

周

1 * *

2 * *

3 * *

4 * *

5 * *

6 * *

七、解：（1）如右图所示：表格中有“*”，

表示该球队在该周有主场比赛，不能出访。

容易验证，按照表中的安排，6支球队四周

可以完成该项比赛。

（2）下面证明7支球队不能在四周

完成该项比赛。设 表示

i号球队的主场比赛周次的集合。假设4周内

能完成该项比赛，则 是{1，2，3，4}的非空真子集。

一方面由于某周内该球队有主场比赛，在这一周内不能安排该球队的客场比赛，所以 中，没有一个集是另一个的子集。

另一方面，设

由抽屉原理，一定存在 ， 属于同一集合A或B或C或D或E或F，必有 或 发生。

所以，n的最大值是6。

八、解：设 。

记 ，

，

，

显然 。

我们证明 。对每一个 ，考虑 。

接着计算 。

设 ，

，

。

满足 为1、2、3、...、10的两两不同的无序四元组只有

。

满足 的四元组共90个，满足 的四元组共90个， 。

所以， 。

东南地区数学竞赛难度

东南地区数学竞赛难度很高。因为东南地区数学竞赛考试完全模拟IMO进行，每天3道题，限四个半小时完成。每题21分，6个题满分为126分。题目难度比国际数学奥林匹克还高，且技术性极强。东南地区数学竞赛由北京大学、南开大学、复旦大学和中国科技大学四所大学倡议，中国数学会决定，自1986年起每年一月份（第29届起改为每年12月举行）举行全国中学生数学冬令营，后又改名为中国数学奥林匹克，简称CMO。分数最高的约前30名选手将组成参加当年国际数学奥林匹克的队伍，可谓是含金量十足。

东南杯数学竞赛初赛时间

东南大学本科生2022年高等数学竞赛于2022年5月8日（周日）在九龙湖校区成功举行。

2021东南地区数学竞赛（东南数学竞赛含金量）